Vier Felder, dieselbe Formel, vier Antworten
Im Lehrbuch steht die Differenz zwischen Kettenlinie und Parabel als kleine Zahl: bei einem ebenen Feld von 900 m sind es 5,9 cm. Damit könnte man leben. Eine Seilbahn hat aber keine ebenen Felder. Je steiler das Feld, desto weiter liegt es vom Scheitel der Kettenlinie entfernt, und desto stärker krümmt sich das Seil gegenüber der Parabel.
Aufgetragen ist der Irrtum selbst: Parabel minus Kettenlinie über das Feld hinweg, in Metern. Beide Achsen sind für alle vier Bilder dieselben, die Waagrechte 0 bis 900 m, die Senkrechte 0 bis 4,61 m. Die vier sind damit untereinander vergleichbar. Feld 3 ist kein Ausreißer, es ist das steilste.
Der Scheitel liegt gar nicht im Feld
Eine Kettenlinie hat einen tiefsten Punkt, den Scheitel. Dort ist sie flach, dort ist sie einer Parabel zum Verwechseln ähnlich. Feld 3 liegt 2 365 m neben diesem Scheitel, weit oben am steilen Ast der Kurve.
Das lässt sich hinschreiben. Die Krümmung der Kettenlinie ist y'' = cosh((x−x₀)/a) / a, die der Parabel ist 1/a. Der ganze Unterschied ist der Faktor cosh. In der Mitte von Feld 3 steht dieser Faktor bei 1,3126. Das Seil krümmt sich dort um 31,3 % stärker, als eine Parabel es kann, und genau 31,4 % zu wenig Durchhang kommt am Ende heraus.
Beim ebenen Feld sitzt der Scheitel in der Feldmitte, cosh steht dort bei fast genau 1, und die Parabel hat recht. Deshalb steht sie im Lehrbuch. Und deshalb steht sie nicht im Plan.
Rechenblatt
Bei gleich hohen Aufhängepunkten lässt sich a hinschreiben. Bei ungleich hohen nicht. Bekannt ist die Seillänge, gesucht ist a, und dazwischen steht 2a · sinh(S/2a) = √(L² − h²). Diese Gleichung löst man nicht auf, man löst sie numerisch.
y = a · cosh((x − x₀)/a) + Ca = H / qL = √(k² + h²), k = 2a · sinh(S/2a)y'' = q/H = 1/ay'' = cosh((x − x₀)/a) / aΔL = α · ΔT · LNewton auf a, heißer Zustand, Startwert 3 469 m
| k | a [m] | Rest f(a) [m] |
|---|---|---|
| 0 | 3 468,8630 | -1,13e+0 |
| 1 | 2 982,3174 | 2,93e-1 |
| 2 | 3 062,1573 | 1,14e-2 |
| 3 | 3 065,5128 | 1,87e-5 |
| 4 | 3 065,5183 | 5,05e-11 |
| 5 | 3 065,5183 | 4,55e-13 |
| 6 | 3 065,5183 | -4,55e-13 |
Der Rest quadriert sich in jedem Schritt weg: die Stellenzahl verdoppelt sich. Nach 4 Schritten steht a auf 3 065,518 m und die Länge stimmt auf den Nanometer.
Der maßgebende Fall ist kalt und beladen
Im Winter zieht sich das Seil zusammen, der Zug steigt. Und die Kabine treibt ihn weiter. Voll ausgenutzt wird H = F/ν deshalb dort, wo beides zusammenfällt: kältester Zustand, Kabine an der ungünstigsten Stelle. a fällt aus dieser Forderung. Wer den Zug am leeren Seil ansetzt, hat den ganzen Sicherheitsbeiwert verbraucht, bevor jemand eingestiegen ist.
Warm wird es länger
Von −25 auf +35 Grad längt sich das Seil um α · ΔT. Die Länge ist jetzt bekannt, a nicht mehr. Bei ungleich hohen Aufhängepunkten gibt es dafür keine geschlossene Formel. Also Newton.
Die Stützen fallen aus dem Freiraum
Jede Stütze wird so niedrig gebaut, wie der geforderte Freiraum es zulässt. Geprüft wird dabei nicht das leere Seil, sondern der Lastfall: heißester Zustand, Kabine an der ungünstigsten Stelle ihres Feldes. Die Höhen sind ein Ergebnis, keine Entscheidung.
Und wieder von vorn
Andere Stützenhöhen sind eine andere Geometrie, also eine andere Seillänge, also ein anderer Durchhang, eine andere Kabinenkurve und ein anderer Zug. Damit steht auch Schritt 1 wieder offen. Die Kette beißt sich in den Schwanz: gerechnet wird im Kreis, bis sich weder die Höhen noch der Zug mehr regen.
Eingefangen ist die Kette nach 5 Durchgängen: danach regt sich weder eine Stützenhöhe noch der Seilparameter a um mehr als einen Millimeter. Auch diese Zahl ist gezählt und nicht behauptet.
Der Durchhang ist keine Zahl, er ist ein Zustand
Das Tragseil ist an beiden Enden verankert, es hängt an keinem Spanngewicht. Also ist seine Länge fest und sein Zug nicht. Von −25 auf +35 Grad längt sich das Seil um 1,90 m. Das klingt nach nichts, verteilt auf 2 637 m Seil.
1,90 m Seil werden zu 3,95 m Durchhang.
| Zustand | T [°C] | a [m] | H [kN] | f Feld 3 [m] | Freiraum [m] |
|---|---|---|---|---|---|
| Winter, kalt | -25 | 3 854 | 737,7 | 15,34 | 13,67 (Feld 4) |
| Montage | +10 | 3 331 | 637,5 | 17,75 | 13,58 (Feld 4) |
| Sommer, heiß | +35 | 3 066 | 586,7 | 19,28 | 13,52 (Feld 4) |
Der Winter spannt das Seil
Kalt zieht sich das Seil zusammen und wird straff. Der Horizontalzug steigt auf 737,7 kN, das sind 72 % des zulässigen. Was fehlt, ist keine ungenutzte Reserve, sondern eine reservierte: sie gehört der Kabine. Blatt 05.
Der Sommer öffnet den Durchhang
Heiß hängt das Seil am tiefsten. Unter der engsten Stelle der ganzen Bahn bleiben dann noch 13,52 m Luft, bei 8,0 m geforderten. Das sieht nach Reserve aus. Sie ist keine: sie gehört der Kabine.
Zwei Jahreszeiten, zwei Enden einer Spanne, und die Anlage steht dazwischen. Alles auf diesem Blatt gilt aber für ein Seil, das nur sich selbst trägt. So fährt keine Bahn. Blatt 05.
Das leere Seil ist nicht der Lastfall
Alles bisher gilt für ein Seil, das nur sich selbst trägt. Eine Pendelbahn hängt 12,0 t hinein und fährt sie von unten nach oben: Kabinenkasten 3,5 t, 80 Plätze zu 80 kg, Laufwerk und Gehänge 2,1 t. Zusammen 117,7 kN an einem Punkt. Und dieser Punkt bleibt nicht stehen.
Eine Einzellast an der Stelle xk teilt das Seil in zwei Kettenlinien mit einem Knick dazwischen. Am Knick steht das Gleichgewicht, und es ist kurz: waagrecht ist der Zug H beidseits derselbe, also haben beide Äste denselben Parameter a = H/q. Senkrecht springt die Zugkomponente um P, also springt die Steigung um P/H.
Damit bleibt genau eine Unbekannte übrig. Nimmt man die Steigung u links vom Knick, liegen beide Scheitel sofort fest, die Aufhängepunkte legen den Rest fest, und übrig bleibt eine einzige Gleichung: das Seil muss am Knick von links und von rechts auf derselben Höhe ankommen. Zwei Scheitel statt einem, dazwischen die Ecke, an der die Kabine hängt.
y'(xₖ⁺) − y'(xₖ⁻) = P/Ha = H/q, derselbe Zugx₀₁ = xₖ − a · arsinh(u)x₀₂ = xₖ − a · arsinh(u + P/H)L(a) = L₀ + (H − H₀)/EA · L₀Der Freiraum ist keine Zahl am Feld. Er ist eine Funktion der Kabinenposition.
Was die Kabine wegnimmt
Am leeren Seil ist die engste Stelle der Bahn 13,52 m hoch. Das ist nicht das Maß, das zählt. Unter der Kabine fällt der Freiraum auf 8,00 m, und zwar an 3 Stellen gleichzeitig: Feld 1, Feld 3, Feld 4. Am meisten frisst sie in Feld 3, dort 17,77 m.
Warum mehrere Stellen zugleich
Weil jede Stütze so weit heruntergedrückt wird, bis ihr Feld gerade noch hält. Wäre nur eine Stelle knapp, stünde daneben eine Stütze zu hoch. Dass am Ende mehrere Felder gemeinsam auf 8,00 m sitzen, ist die Probe darauf, dass keine Höhe geschenkt ist.
Der Beweis, der aus der Formel fällt
Das dickere Seil hängt exakt gleich durch.
Die Intuition sagt: ein stärkeres Seil hängt straffer. Sie irrt, und zwar nicht knapp. Bruchkraft und Metergewicht hängen beide am selben Querschnitt, F = σ · A und q = ρ · g · A. In der größten zulässigen Kettenlinie kürzt sich A heraus, und mit A der Durchmesser:
a ≤ F/(ν · q) = σ / (ν · ρ · g) = 5 344 m
Rechts steht kein Seilmaß mehr, nur noch Stahl: 1 407 N/mm² Bruchspannung, 7 667 kg/m³ Dichte, 3,5 Sicherheit. Das ist die Reißlänge des Materials geteilt durch ν, und sie ist die größte Kettenlinie, die dieser Stahl überhaupt tragen kann. Kein Querschnitt der Welt hebt sie an. Das ist keine Näherung, das ist eine Kürzung.
Damit steht auch fest, woran ein Entwurf hier scheitert, und es ist nicht das Seilmaß. Wer a am leeren Seil auf genau diese Schranke legt, hat den ganzen Sicherheitsbeiwert an das tote Seil vergeben. Alles, was danach einsteigt, kommt oben drauf, und F/(F/ν + ΔH) bleibt für jedes F kleiner als ν. Eine Nummer größer hätte das Symptom verschoben und die Ursache stehen lassen.
Was der Durchmesser dann doch kauft, ist Stützenhöhe. Die Kabine nimmt von der Schranke 1 490 m weg: a liegt kalt bei 3 854 m statt bei 5 344 m, das sind 285,2 kN Zug, die ihr freigehalten werden. Dieser Abstand wird vom Gewicht der Kabine getrieben und wächst nicht mit dem Querschnitt mit. Je dicker das Seil, desto kleiner sein Anteil an der Schranke, desto straffer darf das leere Seil hängen, desto niedriger die Stützen auf Blatt 06. Die 60 mm kaufen Höhe, nicht Sicherheit.
Nachgewiesen ist deshalb der Fall, der wehtut: kalt, Kabine bei km 0,43, Horizontalzug 1 022,9 kN gegen 1 022,9 kN zulässig, ν = 3,50. Im Sommer stünde ν bei 4,10. Wer den Nachweis dort führt, liest 17 % Reserve ab, die es nicht gibt.
Stützenliste
Keine dieser Höhen ist gewählt. Jede ist die kleinste, mit der im heißesten Zustand noch 8,0 m unter dem Seil bleiben, wenn die Kabine an der ungünstigsten Stelle hängt. Am leeren Seil wären es Stützen für 13,5 m Freiraum und damit deutlich kürzere. Die Bahn fährt aber nicht leer.
| Nr | Station [m] | Gelände [m ü. A.] | Höhe [m] | Seilpunkt [m ü. A.] |
|---|---|---|---|---|
| Talstation | 0 | 842,0 | 14,00 | 856,0 |
| Stütze 1 | 900 | 1 042,0 | 39,33 | 1 081,3 |
| Stütze 2 | 1 560 | 1 180,0 | 23,81 | 1 203,8 |
| Stütze 3 | 2 160 | 1 676,0 | 38,78 | 1 714,8 |
| Bergstation | 2 380 | 1 815,0 | 12,00 | 1 827,0 |
| Feld | S [m] | Höhendiff. [m] | Neigung | f [m] | Freiraum leer [m] | mit Kabine [m] | Kabine bei km |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Feld 1 | 900 | 225,3 | 14,1° | 34,10 | 14,93 | 8,00 | 0,719 |
| Feld 2 | 660 | 122,5 | 10,5° | 18,08 | 30,23 | 26,63 | 1,540 |
| Feld 3 | 600 | 511,0 | 40,4° | 19,28 | 25,77 | 8,00 | 1,936 |
| Feld 4 | 220 | 112,2 | 27,0° | 2,22 | 13,52 | 8,01 | 2,314 |
Rot: die Felder, die auf dem Mindestmaß sitzen. Die Spalte „Freiraum leer“ ist das, was ein Blatt ohne Lastfall ausweisen würde. Maßgebend ist die daneben.
Annahmen, offen
- Tragseil
- vollverschlossen, 60 mm. Der Durchmesser kauft Stützenhöhe, nicht Sicherheit: die zulässige Kettenlinie hängt am Stahl und nicht am Querschnitt. Blatt 05.
- Eigengewicht
- 19,51 kg/m
- Mindestbruchkraft
- 3 580 kN
- Sicherheit gegen Bruch
- 3,5
- Füllfaktor Tragseil
- 0,90
- Seil-E-Modul
- 160 kN/mm², vorgereckt
- Mindestfreiraum
- 8,0 m über Gelände
- Kabinenkasten
- 3,5 t
- Nutzlast
- 80 Plätze · 80 kg = 6,4 t
- Laufwerk und Gehänge
- 2,1 t
- Wärmeausdehnung
- 12 · 10⁻⁶ 1/K
- Temperaturbereich
- −25 °C bis +35 °C
- Montagetemperatur
- +10 °C
Gerechnet wird das Eigengewicht des Tragseils über die Bogenlänge, und die Fahrzeuglast als Einzellast mit Knick im Seil. Reibung in den Seilschuhen wird vernachlässigt, der Zug also über alle Felder gleich angesetzt. Das Laufwerk ist in Wirklichkeit kein Punkt, sondern verteilt die Last auf ein paar Meter Rollenabstand: auf 600 m Feldweite ist das die sichere Seite und ein Rundungsfehler. Der metallische Querschnitt fällt aus dem Füllfaktor zu 2 545 mm², mit 160 kN/mm² also EA = 407 MN. Ohne diese Dehnung käme der Zugzuwachs unter der Kabine zu groß und der Durchhang damit zu klein heraus.
Nicht gerechnet sind Wind, Eisansatz, Schrägzug aus dem Zugseil und die zweite Fahrbahn. Ein Vorentwurf ist kein Standsicherheitsnachweis.