über 1’500
Über 1500 haftet niemand. Das ist keine Lücke im Programm, das ist die Grenze des Geschäfts.
Wiederkehrperiode des Anhangs: 746 a. Es gibt sie, sie ist nur nicht gedeckt.
Vier Zeilen. Mehr ist die Kurve nicht.
Zedentin: Schweizer Kompositversicherer · Bestand: Elementar Schweiz, Sturm und Hagel und Hochwasser · Basis: Jahresaggregat, Schadenexzedent · Währung: Mio CHF
- 01
Wie oft
Ereignisse, die den Bestand überhaupt erreichen, kommen Poisson-verteilt. Ein Parameter, die mittlere Anzahl pro Jahr. Mehr braucht die Häufigkeit nicht.
N ~ Poisson(λ) - 02
Wie schwer
Die Schadenhöhe über der Schwelle ist Pareto-verteilt. Der Tail-Index liegt unter zwei: der Erwartungswert existiert, die Varianz nicht. Das ist keine Modellschwäche, das ist der Gegenstand.
P(X > x) = (xₘ / x)^α - 03
Wie zusammen
Jahresschaden ist die Summe der Ereignisschäden des Jahres. Keine geschlossene Form, also simuliert. Hunderttausend Jahre, fester Seed, reproduzierbar.
S = Σ Xᵢ , i = 1 … N - 04
Wie selten
Die Wiederkehrperiode ist der Kehrwert der Überschreitungswahrscheinlichkeit. Sie ist keine Prophezeiung für ein Datum, sondern eine Aussage über eine Rate.
T = 1 / P(S > s)
λ = 2.4xₘ = 8 Mioα = 1.45100’000 JahreSeed 20260101Kontrolle: λ beobachtet 2.4029 · schadenfreie Jahre 9.0 % · Median 36.5 · Erwartungswert 61.1
Das Programm ist die Kurve, in Scheiben geschnitten.
Rechts steht dieselbe Verteilung, auf die Hochachse gelegt. Jede Bahn ist ein Vertrag. Ihre Höhe ist die Haftstrecke, ihre Unterkante die Priorität. Alles daran ist gerechnet: der Preis jeder Bahn ist der erwartete Schaden in genau diesem Ausschnitt.
500 xs 1’000
Cadenar zeichnet 20 Prozent und gibt davon die Hälfte in Retrozession weiter.
- Anhang
- 427 a
- Erschöpfung
- 746 a
- Erwarteter Schaden
- 0.89 Mio
- Rate on Line
- 0.18 %
Netto nach Retro: von 500 Mio Haftstrecke bleiben 50 Mio im eigenen Buch, dazu 0.09 Mio erwarteter Schaden im Jahr. Die Quote ändert die Grösse, nicht den Preis: die Rate on Line bleibt 0.18 %.
350 xs 650
Cadenar zeichnet 20 Prozent. Ab hier wird der Markt dünn.
- Anhang
- 217 a
- Erschöpfung
- 427 a
- Erwarteter Schaden
- 1.16 Mio
- Rate on Line
- 0.33 %
400 xs 250
Der Layer, den Cadenar zeichnet. 400 xs 250, Anteil 35 Prozent.
- Anhang
- 43 a
- Erschöpfung
- 217 a
- Erwarteter Schaden
- 4.07 Mio
- Rate on Line
- 1.02 %
250 xs 0
Trägt die Zedentin. Neun von zehn Jahren endet der Bestand hier drin.
- Anhang
- 1 a
- Erschöpfung
- 43 a
- Erwarteter Schaden
- 51.75 Mio
- Rate on Line
- –
Mio CHF · linear · dieselbe Achse wie oben
Was wir nicht zeichnen
Ein Rückversicherer ist so gut wie seine Ausschlüsse. Was hier steht, steht nicht im Preis, und was nicht im Preis steht, wird nicht gezahlt. Diese Liste ist kürzer als bei den meisten, und sie ist verhandelbar. Der Preis dann auch.
- Krieg und BürgerkriegNicht modellierbar. Keine Frequenz, keine Historie, kein Preis.
- KernenergieAusserhalb jeder Verteilung, die wir schätzen können.
- Rückwirkende DeckungWir zeichnen Zukunft. Vergangenes hat keine Wahrscheinlichkeit mehr.
- Nicht angezeigte KumuleEin Kumul, das wir nicht sehen, ist ein Kumul, das wir nicht tragen.
- Bestände ohne ExponierungsdatenOhne Verteilung kein Modell, ohne Modell keine Zahl.
Die ehrliche Zahl steht nie allein
Die Kurve oben ist aus hunderttausend Jahren gerechnet. Ein echter Bestand hat dreissig. Also haben wir es nachgestellt: aus dem Modell dreissig Jahre Historie gezogen, daraus die Parameter geschätzt, wie ein Aktuar es täte, und daraus die 200-Jahre-Marke abgelesen. Zweitausend Mal.
Das Ergebnis ist der eigentliche Beruf. Nicht die Marke, sondern ihre Breite. Wer eine 200-Jahre-Zahl ohne Bandbreite nennt, hat nicht gerechnet, sondern geraten.
Aus der Simulation selbst ist die Marke auf 596 bis 644 genau, also auf rund 3.9 %. Das ist Rechenrauschen. Der Rest unten ist etwas anderes: Unwissen über die Welt.
Historie5 %Median95 %Spanne
10 a1455472’59517.9×
30 a2405411’3385.6×
60 a3255621’0313.2×
200 a4035617841.9×
200-Jahre-Marke in Mio CHF, aus je 2’000 nachgestellten Historien. Balken logarithmisch.
Dreissig Jahre Historie sagen: irgendwo zwischen 240 und 1’338. Faktor 5.6. Ein Preis, der so tut, als wäre die Zahl scharf, ist der teurere.
Zeichnungsschluss
Erneuerung 1.1.
Rückversicherung erneuert zum Jahreswechsel. Die Arbeit davor ist keine Verhandlung, sondern Rechnen: Wir brauchen Ihre Zahlen früh genug, um sie zu prüfen, nicht um sie zu glauben.
Submission einreichenKonzeptstudie ohne FunktionUnderwritingunderwriting@cadenar-re.example+41 41 000 00 00Musterweg 00, 6300 Zug- bis 30.09.ExponierungBestand nach Zone und Summe. Kein Bordereau, keine Zeichnung.
- bis 15.10.SchadenhistorieZehn Jahre, Einzelschäden über der Schwelle, mit Datum und Ereigniszuordnung.
- bis 31.10.ProgrammstrukturPrioritäten, Haftstrecken, Wiederauffüllungen, bestehende Anteile.
- ab 15.11.QuotierungWir nennen einen Preis und die Kurve, aus der er fällt. Beides.